Conjecture de courbure L^2 - Szeftel - Cours6

6ème séance du Cours "Autour de la Conjecture de courbure L^2 en relativité générale" de Jérémie Szeftel, lauréat 2009 du Prix de la Fondation Sciences Mathématiques de Paris.
Dans ce cours, on s'intéresse à la construction et au contrôle d'une Parametrix pour la solution de l'équation des ondes homogènes sur un espace-temps courbe. Cette parametrix est un opérateur integral de Fourier avec une phase u et correspond au terme le plus fondamental de la parametrix de l'optique géométrique. L'objet de ce cours est l'étude de la deuxième sous étape de cette construction qui consiste à obtenir le contrôle de la parametrix à l'instant initial en utilisant les estimations pour la phase u obtenues au cours précédent. On commence par rappeler les methods standart TT* et T*T, et on explique pourquoi elles sont insuffisantes.
L'idée va être d'utiliser à la fois la régularité par rapport à x, et celle par rapport à l'angle et de mettre à profit le fait qu'on dispose de plus de regularité dans les directions tangentielles au feuilletage induit par les surfaces de niveau de u. On commence par décomposer la parametrix en fréquences, ce qui nécessite la preuve d'une propriété de presque orthogonalité. On procède ensuite à une deuxième décomposition, cette fois en angle. Une divergence logarithmique dans la propriété de presque orthogonalité nécessite une deuxième décomposition en fréquence. Enfin, on utilise la régularité de la phase u par rapport à l'angle pour gérer le terme diagonal.
Dans la dernière partie du cours, on vérifie que la parametrix à l'instant initial permet bien de générer n'importe quelle condition initiale, ce qui revient à montrer que notre opérateur intégral de Fourier est un isomorphisme de L2.