Conjecture de courbure L^2 - Szeftel - Cours 8

Huitième séance (mercredi 12 mai) :

Dans ce cours, on s'intéresse à la construction et au contrôle d'une Parametrix pour la solution de l'équation des ondes homogènes sur un espace-temps courbe. Cette parametrix est un opérateur intégral de Fourier avec une phase u et correspond au terme le plus fondamental de la parametrix de l'optique géométrique. L'objet de ce cours est l'étude de la troisième sous-étape de cette construction qui consiste à contrôler la géométrie du feuilletage de l'espace-temps par les hypersurfaces de niveau de la solution u de l'équation Eikonale.
Au cours précédant, on a défini les quantités géométriques contrôlant la géométrie des hypersurfaces nulles, en particulier, la seconde forme fondamentale nulle. On a également expliqué comment contrôler la seconde forme fondamentale nulle grâce à un théorème de trace dans des espaces de type Besov. Dans ce cours, on commence par montrer dans le cas plat pourquoi le Théorème de trace est vrai. On montre ensuite comment définir cet espace de Besov dans le cas courbe. On explique en particulier comment construire une analyse de Littlewood-Paley géométrique sur des surfaces grâce à l’équation de la chaleur, et on montre comment obtenir les estimations de Bernstein.

Enfin, on s'intéresse au problème du transport des systèmes de coordonnées le long des géodésiques nulles. On explique également comment il est possible d’empêcher l’apparition de caustiques sur les hypersurfaces nulles.