Conjecture de courbure L^2 - Szeftel - Cours5

5ème séance du Cours "Autour de la Conjecture de courbure L^2 en relativité générale" de Jérémie Szeftel, lauréat 2009 du Prix de la Fondation Sciences Mathématiques de Paris.
- Dans ce cours, on s'intéresse à la construction et au contrôle d'une parametrix pour la solution de l'équation des ondes homogènes sur un espace temps courbe. Cette parametrix est un operateur intégral de Fourier avec une phase u et correspond au terme le plus fondamental de la parametrix de l'optique géométrique. L'objet de ce cours est l'étude de la première sous-étape de cette construction qui consiste à obtenir une phase u suffisament régulière à t = 0 pour être capable de contrôler la parametrix à l'instant initial.
Après avoir rappelé les objets géométriques permettant le contrôle des surfaces de niveau de u, on s'intéressera plus particulièrement au lapse a. On rappellera l'équation de structure satisfaite par a, et on supposera dans un premier temps un choix pour u de type surfaces minimales. On mettra alors en évidence le peu de régularité en x et par rapport au paramètre d'angle.
On motivera ensuite un choix mieux adapté à notre problème que le choix de type surfaces minimales. On montrera alors comment utiliser la structure des identités de Bianchi et des équations de contraintes pour obtenir plus de régularité par rapport au paramètre d'angle. On montrera également comment obtenir de la régularité pour la seconde forme fondamentale des surfaces de niveau de u.
On utilisera en particulier l'identité de Bochner. On expliquera également comment montrer a posteriori les injections de type Sobolev sur les surfaces de niveau de u lorsque u a très peu de régularité.